베르누이 정리

작성일자 2025-12-22 글쓴이 saegillab

$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g y = \rm{const.}$

$F_1 = P_1 A_1 , F_2 = P_2 A_2$

$\Delta m = \rho \Delta V = \rho A_1 \Delta x_1 = \rho A_2 \Delta x_2$

$A_1 \frac{\Delta x_1}{\Delta t} = A_2 \frac{\Delta x_2}{\Delta t}$

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Av = \rm{const}$

$W_1 = F_1 \Delta x_1 = P_1 A_1 \Delta x_1 = P_1 \Delta V$

$W_2 = F_2 \Delta x_2 = P_2 A_2 \Delta x_2 = P_2 \Delta V$

$W= W_1 - W_2 = (P_1 - P_2 ) \Delta V = \Delta E_k + \Delta E_p$

$E_k = \frac{1}{2}(\Delta m) v_2^2 - \frac{1}{2}(\Delta m) v_1^2$

$E_p = (\Delta m) g y_2 - (\Delta m) g y_1$

$(P_1 - P_2 ) \Delta V = \frac{1}{2}(\Delta m) v_2^2 - \frac{1}{2}(\Delta m) v_1^2 + (\Delta m) g y_2 - (\Delta m) g y_1$

$\begin{equation*}\begin{aligned}P_1 - P_2 &= \frac{\Delta m}{\Delta V}\frac{1}{2}(v_2^2 - v_1^2) + \frac{\Delta m}{\Delat V} g(y_2 - y_1) \\&= \frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2 ) + \rho g (y_2 -y_1)\end{aligned}\end{equation*}$

$\therefore P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g y_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g y_2$

$\therefore P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g y = \rm{const.}$

$y=a \sin x + b \cos x$ 의 합성

작성일자 2025-11-29 글쓴이 saegillab

$y= a \sin x + b \cos x$ 와 같은 형태는 한 개의 삼각함수로 합성할 수 있다.

$\begin{equation*}\begin{aligned}y &= a \sin x + b \cos x \\&= \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right)\end{aligned}\end{equation*}$

$\tan \alpha = \frac{b}{a}$ 라고 하면 위의 그림과 같이 빗변의 길이는 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 이 되고 $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ , $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ 이 되므로 다음과 같이 변형할 수 있다.

$\begin{equation*}\begin{aligned}y &= \sqrt{a^2 + b^2 } (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) \\&= \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha) \end{aligned}\end{equation*}$

삼각함수의 여러 공식

작성일자 2025-11-28 글쓴이 saegillab

삼각함수의 덧셈 뺄셈 공식 – [link1] [link2]

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

2배각 공식

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

$\begin{equation*}\begin{aligned}\cos 2\alpha &= \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\&= 1-2\sin^2 \alpha \\&= 2\cos^2 \alpha - 1\end{aligned}\end{equation*}$

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

$\cos 2\alpha = 1-2\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpah -1$ 에서 $\sin^2 \alpha$ , $\cos^2 \alpha$ 를 구하면 다음과 같다.

$\sin^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}$

$\cos^2 \alpha = \frac{1+ \cos 2\alpha}{2}$

반각 공식

위의 공식에서 $\alpha$ 대신 $\frac{\alpha}{2}$ 를 대입하면 반각 공식을 얻을 수 있다.

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2}$

$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos \alpha}{2}$

$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{1-\cos \alpha}{1+ \cos \alpha}$

삼각함수의 덧셈공식과 뺄셈공식의 합과 차를 이용하면 두 삼각함수의 곱을 삼각함수의 합과 차로 변형할 수 있다.

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{ \sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\}$

$\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \{ \sin(\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)\}$

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)\}$

$\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)\}$

삼각함수의 덧셈공식과 뻴셈공식에서 $\alpha + \beta = {\rm A}$ , $\alpha - \beta = \rm{B}$ 라고 하면 ${\alpha = \rm \frac{A+B}{2}$ , ${\beta = \rm \frac{A-B}{2}$ 로 표시할 수 있으므로 다음과 같이 삼각함수의 합, 차를 삼각함수들의 곱으로 변형할 수 있다.

$\sin {\rm A} + \sin {\rm B} = \rm 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

$\sin {\rm A} - \sin {\rm B} = \rm 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$

$\cos {\rm A} + \cos {\rm B} = \rm 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

$\cos {\rm A} - \cos {\rm B} = - \rm 2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$

삼각함수 덧셈정리, 뺄셈정리(2)

작성일자 2025-11-27 글쓴이 saegillab

오일러의 식 [link]

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

위의 식에서 $x$ 대신 $\alpha + \beta$ 를 입력하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i \alpha} e^{i \beta} = \cos (\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)$

$\begin{equation*}\begin{aligned}e^{i \alpha } e^{i \beta} &= (\cos \alpha + i \sin \alpha )(\cos \beta + i \sin \beta) \\& = \cos \alpha \cos \beta + i \cos \alpha \sin \beta + i \sin \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\& = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) + i (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)\end{aligned}\end{equation*}$

따라서 삼각함수의 덧셈정리를 얻을 수 있다.

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

윗 식에 $\beta$ 대신 $-\beta$ 를 입력하면 뺄셈정리를 얻을 수 있다.

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

삼각함수 덧셈정리, 뺄셈정리(1)

작성일자 2025-11-27 글쓴이 saegillab

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos\alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$

위의 그림과 같이 반지름이 1인 단위원에서 각도 $\alpha$ 만큼 회전 시킨 점을 A라고 할 때 A의 좌표는 $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 가 된다. 이 A점을 각도 $\beta$ 만큼 더 회전 시킨 점 B의 좌표는 $(\cos(\alpha + \beta), \sin(\alpha + \beta))$ 가 된다.

$\rm{A} (\cos \alpha, \sin \alpha)$

$\rm{B} (\cos(\alpha + \beta), \sin(\alpha + \beta))$

점 B에서 $\overline{\rm OA}$ 에 그은 수선의 발을 H라고 하자.

점 B에서 $x$ 축에 그은 수선의 발을 B’, H에서 $x$ 축에 그은 수선의 발을 H’, H에서 $\overline{\rm BB'}$ 에 그은 수선의 발을 H”이라고 하자.

삼각형 OB’C와 삼각형 BHC는 닮은 삼각형이므로 $\angle {\rm HBH''} = \alpha$ 가 된다.

직각삼각형 OHB에서 선분 $\overline{\rm BH}$ 의 크기는 $\sin \beta$ 가 되고, 선분 $\overline{\rm OH}$ 의 크기는 $\cos \beta$ 가 된다.

$\overline{\rm BH} = \sin \beta$

$\overline{\rm OH} = \cos \beta$

삼각형 OHH’에서 선분 $\overline{\rm HH'} = \overline{\rm OH} \sin \alpha =\cos \beta \sin \alpha$ 가 되며 이 크기는 선분 $\overline{\rm H''B'}$ 의 크기와 같다. 그리고 $\overline{\rm OH'} = \overline{\rm OH} \cos \alpha = \cos \beta \cos \alpha$ 가 된다.

$\overline{\rm H''B'} = \overline{\rm HH'} = \cos \beta \sin \alpha$

$\overline{\rm OH'} = \cos \beta \cos \alpha$

삼각형 BHH”에서 $\overline{\rm HH''} = \overline{\rm BH} \sin \alpha = \sin \beta \sin \alpha$ 가 되며 이 크기는 선분 $\overline{\rm B'H'}$ 의 크기와 같다. 그리고 $\overline{\rm BH''} = \overline{\rm BH} \cos \beta = \sin \beta \cos \alpha$ 가 된다.

$\overline{\rm B'H'} = \overline{\rm HH''} = \sin \beta \sin \alpha$

$\overline{\rm BH''} = \sin \beta \cos \alpha$

$\overline{\rm BB'} = \sin (\alpha + \beta ) = \overline{\rm BH''} + \overline{\rm H''B'}$ 이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$\sin(\alpha + \beta) = \overline{\rm BH''} + \overline{\rm H''B'} = \sin \beta \cos \alpha + \cos \beta \sin \alpha$

$\overline{\rm OB'} = \cos (\alpha + \beta) = \overline{\rm OH'} - \overline{\rm B'H'}$ 이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$\cos (\alpha + \beta) = \overline{\rm OH'} - \overline{\rm B'H'} = \cos \beta \cos \alpha - \sin \beta \sin \alpha$

$\sin$ 함수와 $\cos$ 함수의 덧셈 정리는 다음과 같이 정리할 수 있다.

(1) $\begin{equation*}\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{equation*}$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}$ 이므로 다음과 같이 $\tan$ 의 덧셈정리를 구할 수 있다.

$\begin{equation*}\begin{aligned}\tan (\alpha + \beta) & = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \\&=\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} \\\end{equation*}$

윗식의 분자 분모를 각각 $\cos \alpha \cos \beta$ 로 나누면 다음 $\tan$ 의 덧셈정리를 구할 수 있다.

(3) $\begin{equation*}\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\end{equation*}$

식 (1), (2), (3)에서 $\beta$ 대신에 $-\beta$ 를 입력하고 정리하면 삼각함수의 뺄셈정리을 얻을 수 있다.

(4) $\begin{equation*}\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*}\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\end{equation*}$

(6) $\begin{equation*}\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}\end{equation*}$

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 와 오일러 항등식

작성일자 2025-11-26 글쓴이 saegillab

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$e^x$ 의 무한 급수 표현에서 $x$ 대신 $ix$ 를 삽입하면 다음과 같이 표현된다.

$\begin{equation*}\begin{aligned}e^x &= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \cdots \\& = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} -i \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i \frac{x^7}{7!} + \cdots \\& = \left (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \right ) + i \left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right)\end{aligned}\end{equation*}$

위 식에서 실수부는 $\cos x$ 의 급수 표현과 같고, 허수부는 $\sin x$ 의 급수 표현과 같으므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

위 식에서 $x$ 의 값으로 $\pi$ 를 입력하면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.

$e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$

위의 결과를 다시 정리하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$e^{i\pi} + 1 = 0$

이 식이 수학에서 가장 중요한 상수로 알려진 $e$ , $i$ , $\pi$ , 0, 1이 모두 나오는 ‘수학에서 가장 아름다운 식’으로 불리는 오일러 항등식이다.

cos x의 급수 표현

작성일자 2025-11-25 글쓴이 saegillab

Maclaurin 급수

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \cdots$

$f(x)=\cos x, \quad f(0) = 1$

$f'(x) = -\sin x, \quad f'(0) = 0$

$f''(x) = -\cos x, \quad f''(0) = -1$

$f'''}(x) = \sin x, \quad f'''(0) = 0$

$f^{(4)}(x) = \cos x, \quad f^{(4)} (0) = 1$

위 관계에서 $\cos x$ 를 급수로 나타낼 때 보이는 $x$ 의 홀수항은 모두 0이 되고, 짝수항(0포함)은 1과 -1이 반복된다. 따라서 $\cos x$ 는 다음과 같이 급수로 표현할 수 있다.

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

sin x 의 급수 표현

작성일자 2025-11-25 글쓴이 saegillab

Maclaurin 급수

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \cdots$

$f(x)=\sin x, \quad f(0) = 0$

$f'(x) = \cos x, \quad f'(0) = 1$

$f''(x) = -\sin x, \quad f''(0) = 0$

$f'''}(x) = -\cos x, \quad f'''(0) = -1$

$f^{(4)}(x) = \sin x, \quad f^{(4)} (0) = 0$

위 관계에서 $\sin x$ 를 급수로 나타낼 때 보이는 짝수항(0포함)은 모두 0이 되고, 홀수항은 1과 -1이 반복된다. 따라서 $\sin x$ 는 다음과 같이 급수로 표현할 수 있다.

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

지수 함수 $f(x)=e^x$ 의 급수 표현

작성일자 2025-11-25 글쓴이 saegillab

Maclaurin 급수

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \cdots$

$f(x) = e^x$ 라고 할 때 다음 관계가 성립한다.

$f'(x) = f''(x) = f'''(x) = \cdots = f^{(n)}(x) = e^x$

따라서 $x=0$ 일 때 값은 모두 1이 된다.

$f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = \cdots = f^{(n)}(0) = 1$

$\begin{equation*}\begin{aligned}e^x &= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4\cdots + \cdots \\&= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{aligned}\end{equation*}$